Fraction d'entiers consécutifs - Corrigé

Énoncé

Soit \(n \in \mathbb{N}\) . Vérifier que la fraction \(\dfrac{3n+1}{3n+2}\) est irréductible.

Solution

Lorsque  \(n=0\) , la fraction  \(\dfrac{3n+1}{3n+2}=\dfrac{1}{2}\)  est effectivement irréductible.

Lorsque  \(n \geqslant 1\) , la division euclidienne de  \(3n+2\)  par  \(3n+1\)  s'écrit :
\(3n+2=(3n+1) \times 1+1\)  avec  \(0 \leqslant 1 <3n+1\)  car  \(3n \geqslant 3 >0\) .
On peut donc utiliser l'algorithme d'Euclide :
\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline a&b&q&r\\ \hline 3n+2 & 3n+1 & 1 & 1 \\ \hline 3n+1 & 1 & 3n+1 & 0\\ \hline \end{array}\end{align*}\)  
donc \(\mathrm{PGCD}(3n+2;3n+1)=1\) .
Ainsi, la fraction \(\dfrac{3n+1}{3n+2}\) est irréductible.